Question

（2012•珠海二模）已知圓C方程：（x-1）²+y²=9，垂直于x軸的直線L與圓C相切于N點(diǎn)（N在圓心C的右側(cè)），平面上有一動(dòng)點(diǎn)P，若PQ⊥L，垂足為Q，且

|PC|

|PQ|

=

1

2

；
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）已知D為點(diǎn)P的軌跡曲線上第一象限弧上一點(diǎn)，O為原點(diǎn)，A、B分別為點(diǎn)P的軌跡曲線與x，y軸的正半軸的交點(diǎn)，求四邊形OADB的最大面積及D點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用

|PC|

|PQ|

=

1

2

，建立方程，化簡(jiǎn)可得點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）先表示出四邊形OADB的面積，利用輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合角的范圍，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則PQ=|4-x|，…（2分），PC=

(x-1)2+y2

…（3分）
因?yàn)?span id="yxbl6st" class="MathJye">

|PC|

|PQ|

=

1

2

，所以

(x-1)2+y2

|4-x|

=

1

2

，…（4分）
化簡(jiǎn)得

x2

4

+

y2

3

=1…（5分）
所以點(diǎn)P的軌跡方程是

x2

4

+

y2

3

=1…（6分）
（2）依題意得，A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為(0，

3

)…（7分）
設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(2cosθ，

3

sinθ)，(0＜θ＜

π

2

)，…（8分）
則四邊形OADB的面積S_{四邊形OADB}=S_△OAD+S_△OBD=

1

2

×2×

3

sinθ+

1

2

×

3

×2cosθ…（10分）
=

3

(sinθ+cosθ)=

6

sin(θ+

π

4

)…（11分）
又因?yàn)?span id="tjwgyrl" class="MathJye">0＜θ＜

π

2

，所以

π

4

＜θ+

π

4

＜

3π

4

…（12分）
所以

2

2

＜sin(θ+

π

4

)≤1，即

3

＜

6

sin(θ+

π

4

)≤

6

所以四邊形OADB的最大面積為

6

，…（13分）
當(dāng)四邊形OADB的面積取最大時(shí)，θ+

π

4

=

π

2

，即θ=

π

4

，
此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為(

2

，

6

2

)…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求解，考查三角函數(shù)知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確表示四邊形OADB的面積是關(guān)鍵．