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        1. (2012•珠海二模)已知函數(shù)f(x)=
          1
          3
          x3+ax2+bx
          (a,b∈R).
          (Ⅰ)若曲線C:y=f(x)經(jīng)過點(diǎn)P(1,2),曲線C在點(diǎn)P處的切線與直線x+2y-14=0垂直,求a,b的值;
          (Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,試求函數(shù)g(x)=(m2-1)[f(x)-
          7
          3
          x]
          (m為實(shí)常數(shù),m≠±1)的極大值與極小值之差;
          (Ⅲ)若f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)存在兩個不同的極值點(diǎn),求證:0<a+b<2.
          分析:(Ⅰ)求導(dǎo)函數(shù),利用曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率為2及曲線C:y=f(x)經(jīng)過點(diǎn)P(1,2),建立方程,即可求得a,b的值;
          (Ⅱ)求導(dǎo)函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,分類討論,確定函數(shù)的極值,從而可得g(x)極大-g(x)極小
          (Ⅲ)因?yàn)閒(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)存在兩個極值點(diǎn),所以f′(x)=0,即x2+2ax+b=0在(1,2)內(nèi)有兩個不等的實(shí)根,由此建立不等式,從而可得結(jié)論.
          解答:(Ⅰ)解:求導(dǎo)函數(shù)可得f'(x)=x2+2ax+b,
          ∵直線x+2y-14=0的斜率為-
          1
          2
          ,∴曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率為2,∴f'(1)=1+2a+b=2…①
          ∵曲線C:y=f(x)經(jīng)過點(diǎn)P(1,2),∴f(1)=
          1
          3
          +a+b=2
          …②
          由①②得:a=-
          2
          3
          ,b=
          7
          3
          …(3分)
          (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知:f(x)=
          1
          3
          x3-
          2
          3
          x2+
          7
          3
          x
          ,∴g(x)=
          m2-1
          3
          (x3-2x2)
          ,∴g′(x)=(m2-1)x(x-
          4
          3
          )
          ,由g'(x)=0⇒x=0,或x=
          4
          3

          當(dāng)m2-1>0,即m>1,或m<-1時,x,g'(x),g(x)變化如下表
          x (-∞,0) 0 (0,
          4
          3
          )
          4
          3
          (
          4
          3
          ,+∞)
          g'(x) + 0 - 0 +
          g(x) 極大值 極小值
          由表可知:g(x)極大-g(x)極小=g(0)-g(
          4
          3
          )
          =0-[-
          32
          81
          (m2-1)]=
          32
          81
          (m2-1)
          …(5分)
          當(dāng)m2-1<0,即-1<m<1時,x,g'(x),g(x)變化如下表
          x (-∞,0) 0 (0,
          4
          3
          )
          4
          3
          (
          4
          3
          ,+∞)
          g'(x) - 0 + 0 -
          g(x) 極小值 極大值
          由表可知:g(x)極大-g(x)極小=g(
          4
          3
          )-g(0)
          =-
          32
          81
          (m2-1)-0=-
          32
          81
          (m2-1)
          …(7分)
          綜上可知:當(dāng)m>1,或m<-1時,g(x)極大-g(x)極小=
          32
          81
          (m2-1)

          當(dāng)-1<m<1時,g(x)極大-g(x)極小=-
          32
          81
          (m2-1)
          …(8分)
          (Ⅲ)證明:因?yàn)閒(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)存在兩個極值點(diǎn),所以f′(x)=0,
          即x2+2ax+b=0在(1,2)內(nèi)有兩個不等的實(shí)根.
          1+2a+b>0,(1)
          4+4a+b>0,(2)
          1<-a<2,(3)
          △=4(a2-b)>0,(4)
           …(10分)
          由 (1)+(3)得:a+b>0,…(11分)
          由(4)得:a+b<a2+a,由(3)得:-2<a<-1,
          ∴a2+a=(a+
          1
          2
          2-
          1
          4
          <2,∴a+b<2.
          故0<a+b<2…(12分)
          點(diǎn)評:本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性與極值,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,考查不等式的證明,正確求導(dǎo)是關(guān)鍵.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•珠海二模)△ABC中,角A、B、C所對的邊a、b、c,若a=
          3
          ,A=
          π
          3
          ,cosB=
          5
          5
          ,b=( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•珠海二模)如圖1,在邊長為4cm的正方形ABCD中,E、F分別為BC、CD的中點(diǎn),M、N分別為AB、CF的中點(diǎn),現(xiàn)沿AE、AF、EF折疊,使B、C、D三點(diǎn)重合于點(diǎn)B,構(gòu)成一個三棱錐(如圖2).
          (1)判別MN與平面AEF的位置關(guān)系,并給予證明;
          (2)證明:平面ABE⊥平面BEF;
          (3)求多面體E-AFNM的體積.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•珠海二模)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)
          曲線ρ=4cosθ關(guān)于直線θ=
          π4
          對稱的曲線的極坐標(biāo)方程為
          ρ=4sinθ
          ρ=4sinθ

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•珠海二模)已知單位向量
          a
          ,
          b
          ,其夾角為
          π
          3
          ,則|
          a
          +
          b
          |
          =( 。

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