Question

已知橢圓：的離心率為，直線:與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點(diǎn)，
線段垂直平分線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程；
（Ⅲ）設(shè)與軸交于點(diǎn)，不同的兩點(diǎn)在上，且滿足，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

解析試題分析：（Ⅰ）利用離心率和直線與圓相切得到兩個等量關(guān)系，確定橢圓方程；（Ⅱ）利用定義法求解曲線方程；（Ⅲ）采用坐標(biāo)法，將向量問題坐標(biāo)化，進(jìn)行有效的整理為，然后借助均值不等式進(jìn)行求解范圍.
試題解析：（Ⅰ）∵  
∵直線相切，
∴  ∴       3分
∵橢圓的方程是          6分
（Ⅱ）∵，
∴動點(diǎn)到定直線：的距離等于它到定點(diǎn)的距離，
∴動點(diǎn)的軌跡是為準(zhǔn)線，為焦點(diǎn)的拋物線       6分
∴點(diǎn)的軌跡的方程為     9分
（Ⅲ），設(shè)、 
∴ 
∵，∴
∵，化簡得         11分
∴
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立      13分
∵，又
∴當(dāng)即時，，故的取值范圍是  14分
考點(diǎn)：1.橢圓方程；2.拋物線的定義；3.坐標(biāo)法的應(yīng)用.