Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若在處取得極小值，求的值；

（2）若在上恒成立，求的取值范圍；

（3）求證：當(dāng)時(shí)，.

Answer 1

【答案】（1） ；（2） ；（3）見解析.

【解析】

試題分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由求之即可；（2）分、、分別討論函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值，由求之即可；（3）由（2）知令，當(dāng)時(shí)，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）當(dāng)時(shí)，，令代入相加即可.

試題解析： （1）∵的定義域?yàn)?/span>，，

∵在處取得極小值，∴，即.

此時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證是的極小值點(diǎn)，故.

（2）∵，

①當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，

∴當(dāng)時(shí)，矛盾.

②當(dāng)時(shí)，，

令，得；，得.

（ⅰ）當(dāng)，即時(shí)，

時(shí)，，即遞減，∴矛盾.

（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，

時(shí)，，即遞增，∴滿足題意.

綜上，.

（3）證明：由（2）知令，當(dāng)時(shí)，，

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）

∴當(dāng)時(shí)，.

即當(dāng)，有

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