Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．
（1）若a=0時，求函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：若a=0時，f（x）=x2﹣lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x﹣ ，

函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為k=2﹣1=1，切點(diǎn)為（1，1），

則有切線方程為y﹣1=x﹣1，即為x﹣y=0

（2）解：∵函數(shù)f（x）在[1，2]內(nèi)是減函數(shù)，

∴f'（x）= ≤0在[1，2]上恒成立，

令h（x）=2x2+ax﹣1，有 得 ，

∴a≤﹣

【解析】（1）求出a=0時函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；（2）先對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)可得到其導(dǎo)函數(shù)在[1，2]上小于等于0應(yīng)該恒成立，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得a的范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．