Question

定義函數(shù)f（x）=[x•[x]]，其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，當(dāng)x∈[0，n）（n∈N^*）時(shí)，設(shè)函數(shù)f（x）的值域?yàn)榧�合A，記A中的元素個(gè)數(shù)為a_n，則使

an+49

n

為最小時(shí)的n是（　�。�

A．7

B．9

C．10

D．13

Answer 1

分析：由題意易得a_n，進(jìn)而可得

an+49

n

=

n

2

+

49

n

+

1

2

，由函數(shù)f（x）=

x

2

+

49

x

+

1

2

的單調(diào)性可得答案．

解答：解：根據(jù)題意：x∈[n-1，n）時(shí)，[x]=n-1，
∴x∈[n-1，n）時(shí)，[x[x]]=（n-1）²
∴[x[x]]在各區(qū)間中的元素個(gè)數(shù)是：1，2，3，…，n
∴a_n=1+2=3+…+n=

n(n+1)

2

，∴

an+49

n

=

n

2

+

49

n

+

1

2

，
構(gòu)造函數(shù)f（x）=

x

2

+

49

x

+

1

2

，f′（x）=

1

2

-

49

x2

，
令

1

2

-

49

x2

＞0，可得x＞

98

，
故函數(shù)f（x）在（1，

98

）單調(diào)遞減，（

98

，+∞）單調(diào)遞增，
故當(dāng)n=9時(shí)，

n

2

+

49

n

+

1

2

=

94

9

，當(dāng)n=10時(shí)，

n

2

+

49

n

+

1

2

=

52

5

，
而

94

9

＞

52

5

，故當(dāng)n=10時(shí)，

an+49

n

取最小值
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬中檔題．