Question

定義函數(shù)f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如：[1，5]=1．[-1，3]=-2，當(dāng)x∈[0，n]（n∈N^*）時(shí)，設(shè)函數(shù)f（x）的值域?yàn)锳，記集合A中的元素個(gè)數(shù)為a，則：
（1）a₃=

6

（2）式子

an+90

n

的最小值為

181

13

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意：x∈[n-1，n）時(shí)，[x]=n-1，所以x∈[n-1，n）時(shí)，[x[x]=（n-1）x，所以[x[x]]在各區(qū)間中的元素個(gè)數(shù)是：1，2，3，…，n，a_n=

n(n+1)

2

．
（1）n=3時(shí)，可求a₃的值
（2）

an+90

n

=

n

2

+

90

n

+

1

2

，根據(jù)函數(shù)在（1，13）單調(diào)遞減，（14，+∞）單調(diào)遞增，可得結(jié)論

解答：解：根據(jù)題意：x∈[n-1，n）時(shí)，[x]=n-1，∴x∈[n-1，n）時(shí)，[x[x]]=（n-1）²
∴[x[x]]在各區(qū)間中的元素個(gè)數(shù)是：1，2，3，…，n
∴a_n=

n(n+1)

2

（1）n=3時(shí)，a₃=

n(n+1)

2

=

3×4

2

=6
（2）

an+90

n

=

n

2

+

90

n

+

1

2

∴函數(shù)在（1，13）單調(diào)遞減，（14，+∞）單調(diào)遞增
 n=13時(shí)，

an+90

n

=

n

2

+

90

n

+

1

2

= 

181

13

； n=14時(shí)，

an+90

n

=

n

2

+

90

n

+

1

2

=

195

14

；
∵

181

13

＜

195

14

∴式子

an+90

n

的最小值為

181

13

故答案為：

181

13

點(diǎn)評：本題考查新定義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．