Question

【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，左項(xiàng)點(diǎn)為上頂點(diǎn)為.已知.

（1）求橢圓的離心率；

（2）設(shè)為橢圓上在第一象限內(nèi)一點(diǎn),射線與橢圓的另一個(gè)公共點(diǎn)為,滿足，直線交軸于點(diǎn)，的面積為.

(i)求橢圓的方程.

(ii)過點(diǎn)作不與軸垂直的直線交橢圓于（異于點(diǎn)）兩點(diǎn)，試判斷的大小是否為定值，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）(i) (ii) 是定值，證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)，得到，之間的關(guān)系，從而得到離心率；（2）(i)設(shè)橢圓方程為，根據(jù)，得到，代入橢圓方程得，從而得到直線的方程和點(diǎn)坐標(biāo)，表示出的面積，解出，得到橢圓方程；(ii) 設(shè)直線的方程為: ，與橢圓聯(lián)立得到，，對(duì)進(jìn)行計(jì)算化簡(jiǎn)，從而得到，是定值.

（1），，則

因?yàn)?/span>，

所以

解得，

所以.

（2）(i)由（1）得，即，

設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

由題意設(shè)，所以，

由，易知，

所以，得，

代入橢圓方程得，

所以

所以，直線，

令得

所以，

所以，

解得，

所以橢圓的方程為

(ii)顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，直線的斜率存在且不為.

設(shè)直線的方程為:

聯(lián)立方程，化簡(jiǎn)得，

設(shè)，

則，

又，則，，

所以是定值.