Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）在R上的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），對x∈R有f（x）+f（﹣x）=x2 ， 在（0，+∞）上f′（x）﹣x＜0，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A.[2，+∞）
B.（﹣∞，2]
C.（﹣∞，2]∪[2，+∞）
D.[﹣2，2]

Answer 1

【答案】A
【解析】解：由題意設(shè)g（x）=f（x）﹣ ， ∵對x∈R有f（x）+f（﹣x）=x2 ，
∴g（x）+g（﹣x）=f（x）+f（﹣x）﹣x2=0，
則函數(shù)g（x）是R上的奇函數(shù)，
∵在（0，+∞）上f′（x）﹣x＜0，
∴g′（x）=f′（x）﹣x＜0，則函數(shù)g（x）在（0，+∞）上遞減，
由奇函數(shù)的性質(zhì)知：函數(shù)g（x）在（﹣∞，+∞）上遞減，
∵f（4﹣m）﹣f（m）=[g（4﹣m）+ ]﹣[g（m）+ ]
=g（4﹣m）﹣g（m）+8﹣4m≥8﹣4m，
∴g（4﹣m）≥g（m），則4﹣m≤m，解得m≥2，
即實數(shù)m的取值范圍是[2，+∞），
故選A．
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．