Question

【題目】已知函數(shù)
（1）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（2）若f（x）的定義域為[α，β]（β＞α＞0），判斷f（x）在定義域上的增減性，并加以證明；
（3）若0＜m＜1，使f（x）的值域為[logmm（β﹣1），logmm（α﹣1）]的定義域區(qū)間[α，β]（β＞α＞0）是否存在？若存在，求出[α，β]，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 得f（x）的定義域為（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），關于原點對稱．

∵

∴f（x）為奇函數(shù)

（2）解：∵f（x）的定義域為[α，β]（β＞α＞0），則[α，β]（3，+∞）．

設x1，x2∈[α，β]，則x1＜x2，且x1，x2＞3，

f（x1）﹣f（x2）= =

∵（x1﹣3）（x2+3）﹣（x1+3）（x2﹣3）=6（x1﹣x2）＜0，

∴（x1﹣3）（x2+3）＜（x1+3）（x2﹣3）

即 ，

∴當0＜m＜1時，logm ，即f（x1）＞f（x2）；

當m＞1時，logm ，即f（x1）＜f（x2），

故當0＜m＜1時，f（x）為減函數(shù)；m＞1時，f（x）為增函數(shù)．

（3）解：由（1）得，當0＜m＜1時，f（x）在[α，β]為遞減函數(shù)，

∴若存在定義域[α，β]（β＞α＞0），使值域為[logmm（β﹣1），logmm（α﹣1）]，

則有

∴

∴α，β是方程 的兩個解

解得當 時，[α，β]= ，

當 時，方程組無解，即[α，β]不存在．

【解析】（1）先求得f（x）的定義域為（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），關于原點對稱．再驗證 ，從而可得f（x）為奇函數(shù)；（2）f（x）的定義域為[α，β]（β＞α＞0），則[α，β]（3，+∞）．設x1 ， x2∈[α，β]，則x1＜x2 ， 且x1 ， x2＞3，作差f（x1）﹣f（x2）= = ，從而可知當0＜m＜1時，logm ，即f（x1）＞f（x2）；當m＞1時，logm ，即f（x1）＜f（x2），故當0＜m＜1時，f（x）為減函數(shù)；m＞1時，f（x）為增函數(shù)．（3）由（1）得，當0＜m＜1時，f（x）在[α，β]為遞減函數(shù)，故若存在定義域[α，β]（β＞α＞0），使值域為[logmm（β﹣1），logmm（α﹣1）]，則有 ，從而問題可轉化為α，β是方程 的兩個解，進而問題得解．