Question

如圖，四邊形ABCD為長方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AD=

1

2

PD．
（Ⅰ）證明：平面PQC⊥平面DCQ；
（Ⅱ）若二面角Q-BP-C的大小等于

3π

4

，求

AB

AD

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立空間坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，證明

PQ

•

DQ

=0，

PQ

•

DC

=0即可證得結(jié)論；
（Ⅱ）求出平面PBC的法向量

n

=(0，t，2)，平面PBQ的法向量

m

=(t，t，1)，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）證明：設(shè)DA=1，AB=t，建立如圖空間坐標(biāo)系D-xyz，則Q（1，1，0），C（0，0，t），P（0，2，0）
∴

DQ

=(1，1，0)，

DC

=(0，0，t)，

PQ

=(1，-1，0)
∴

PQ

•

DQ

=0，

PQ

•

DC

=0
∴PQ⊥DQ，PQ⊥DC
∵DC∩DQ=D，∴PQ⊥平面DCQ
∴平面PQC⊥平面DCQ；
（Ⅱ）解：

CB

=(1，0，0)，

BP

=(-1，2，-t)
設(shè)

n

=(x，y，z)是平面PBC的法向量，則

n • CB =0 n • BP =0

，即

x=0 -x+2y-tz=0

，取

n

=(0，t，2)
設(shè)

m

=(x′，y′，z′)是平面PBQ的法向量，則

m • BP =0 m • PQ =0

，即

x′-2y′+tz′=0 x′-y′=0

，取

m

=(t，t，1)
∴|cos＜

m

，

n

＞|=|

m • n

| m || n |

|=

t2+2

t2+4 • 2t2+1

=

2

2

，∴t=2
∴二面角Q-BP-C的大小等于

3π

4

時，

AB

AD

=2．

點(diǎn)評：本題考查面面垂直，考查面面角，考查利用向量知識解決立體幾何問題，關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，屬于中檔題．