Question

已知兩點M（-3，0），N（3，0），點P為坐標平面內一動點，且|

MN

|•|

MP

|+

MN

•

NP

=0，則動點P（x，y）到兩點A（-3，0）、B（-2，3）的距離之和的最小值為（　�。�

• A．4
• B．5
• C．6
• D．

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Answer 1

分析：首先利用向量數量積的運算求出拋物線的方程，然后根據拋物線的定義再將動點P（x，y）到點A（-3，0）的距離轉化為到焦點的距離，進而轉化為到準線的距離，如圖．再由拋物線的性質知：當B，C和P三點共線的時候距離之和最小，從而得到答案．

解答：解：設P（x，y），因為M（-3，0），N（3，0），
所以|

MN

|=6，

MP

=(x+3，y)，

NP

=(x-3，y)，

MN

=（6，0），
由|

MN

|•|

MP

|+

MN

•

NP

=0，則6

(x+3)2+y2

+6(x-3)=0，
化簡整理得y²=-12x，其焦點坐標為（-3，0），
所以點A是拋物線y²=-12x的焦點，
過P作準線x=3的垂線，垂足為C，
則動點P（x，y）到兩點A（-3，0）、B（-2，3）的距離之和等于動點P（x，y）到點B（-2，3）和到直線x=3的距離之和，
依題意可知當B，C和P三點共線的時候，距離之和最小，如圖，
最小值為：3-（-2）=5．
故選B．

點評：本題在向量與圓錐曲線交匯處命題，考查了向量的數量積、曲線方程的求法、拋物線的定義以及等價轉化能力．