Question

【題目】已知函數(shù)，設(shè)函數(shù)的所有零點(diǎn)構(gòu)成集合，函數(shù)的所有零點(diǎn)構(gòu)成集合．

（1）試求集合、；

（2）令，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（1），；（2）見解析.

【解析】

（1）解方程，可得出集合，然后解方程和，可得出集合；

（2）令，由，可得出，對(duì)分、和三種情況討論，在時(shí)，求出方程的兩根、，然后討論方程和的判別式、的符號(hào)，綜上可得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

（1），令，解得，，故；

令，則，由上面知，函數(shù)的零點(diǎn)為和.

當(dāng)時(shí)，，即，解得，；

當(dāng)時(shí)，，即，解得，

故；

（2）令，，令.

①當(dāng)，

即時(shí)，方程（*）無實(shí)數(shù)解，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)；

②當(dāng)時(shí)，解方程（*），得，由，得，

因?yàn)?/span>，

所以該方程有兩實(shí)數(shù)解，從而函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)；

③當(dāng)時(shí)，解方程（*）得，，，

由，得，，

由，得，，

因?yàn)?/span>，所以方程（***）必有兩實(shí)數(shù)解；

若，即時(shí)，方程（**）無實(shí)數(shù)解，從而函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)；

若，即時(shí)，方程（**）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，從而函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)；

若，即時(shí)，方程（**）有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，從而函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)．

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)；

當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)．