【題目】已知數(shù)列和
滿足:
,且
成等比數(shù)列,
成等差數(shù)列.
(1)行列式,且
,求證:數(shù)列
是等差數(shù)列;
(2)在(1)的條件下,若不是常數(shù)列,
是等比數(shù)列,
①求和
的通項(xiàng)公式;
②設(shè)是正整數(shù),若存在正整數(shù)
,使得
成等差數(shù)列,求
的最小值.
【答案】(1)見解析;(2)①,
;②6
【解析】
(1)根據(jù)行列式的代數(shù)余子式可得,再根據(jù)等差中項(xiàng)可證;
(2)①設(shè)等差數(shù)列的公差為,等比數(shù)列的公比為
,運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式,解方程組即可得到所求通項(xiàng);
②由等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和分類討論,即可得到最小值.
證明:因?yàn)?/span>,
所以,
,
因?yàn)?/span>,所以
,即
,
所以數(shù)列是等差數(shù)列.
①由(1)知數(shù)列是等差數(shù)列,設(shè)公差為
(
),設(shè)等比數(shù)列
的公比為
,
因?yàn)?/span>成等比數(shù)列,
成等差數(shù)列,
所以且
,
所以,且
,
結(jié)合化簡可得
且
,
解得,
所以,
,
故,
.
②因?yàn)?/span>成等差數(shù)列,
所以,即
,
由于,且
均為正整數(shù),
所以,
,所以
,
可得,即
,
當(dāng)時(shí),
,
,所以不等式
不成立,
當(dāng)或
時(shí),
成立,
當(dāng)時(shí),
,即
時(shí),則有
,
所以的最小值為6,當(dāng)且僅當(dāng)
且
或
時(shí),
取得最小值6.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線過點(diǎn)
,過點(diǎn)
作直線
與拋物線
交于不同兩點(diǎn)
、
,過
作
軸的垂線分別與直線
、
交于點(diǎn)
、
,其中
為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求拋物線的方程;
(2)寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;
(3)求證:為線段
的中點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線,曲線C:就是其中之一(如圖).給出下列三個(gè)結(jié)論:
①曲線C恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn));
②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過;
③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.
其中,所有正確結(jié)論的序號是
A. ①B. ②C. ①②D. ①②③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左.右焦點(diǎn)分別為
,
為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)若斜率為的直線
交橢圓
于點(diǎn)
,若線段
的中點(diǎn)為
,直線
的斜率為
,求
的值;
(2)已知點(diǎn)是橢圓
上異于橢圓頂點(diǎn)的一點(diǎn),延長直線
,
分別與橢圓交于點(diǎn)
,設(shè)直線
的斜率為
,直線
的斜率為
,求證:
為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
,
為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),證明:函數(shù)
只有一個(gè)零點(diǎn);
(2)若函數(shù)存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn)
,
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)若在區(qū)間
上不是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)
的范圍;
(2)若對任意,都有
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),設(shè)
,對任意給定的正實(shí)數(shù)
,曲線
上是否存在兩點(diǎn)
,
,使得
是以
(
為坐標(biāo)原點(diǎn))為直角頂點(diǎn)的直角三角形,而且此三角形斜邊中點(diǎn)在
軸上?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),
a為實(shí)數(shù)
,
求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
若存在實(shí)數(shù)a,使得
對任意
恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
提示:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線以
為焦點(diǎn),且過點(diǎn)
(1)求雙曲線與其漸近線的方程
(2)若斜率為1的直線與雙曲線
相交于
兩點(diǎn),且
(
為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線
的方程
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