Question

【題目】已知函數(shù)，，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；

（2）若函數(shù)存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到函數(shù)的最值，發(fā)現(xiàn)函數(shù)最大值等于0，從而得證；（2）原題等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)存在兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)研究導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，和圖像性質(zhì)，使得導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而得到結(jié)果.

（1）由題知：，

令，，

當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞減.

因?yàn)?/span>，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，故只有一個(gè)零點(diǎn).

（2）由（1）知：不合題意，

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，；，；

又因?yàn)?/span>，所以；

又因?yàn)?/span>，

因?yàn)楹瘮?shù)，，，

所以，即，

所以存在，滿足，

所以，；，；，；

此時(shí)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，0，符合題意.

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，；，；所以；

所以，即在上單調(diào)遞減，

所以無極值點(diǎn)，不合題意.

綜上可得：.