Question

已知二項(xiàng)式(x2+

1

2 x

)n（n∈N*）展開式中，前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和是56，求：
（Ⅰ）n的值；
（Ⅱ）展開式中的常數(shù)項(xiàng)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)是二項(xiàng)展開式中的組合數(shù)列方程求解
（Ⅱ）據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式得第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為0得展開式的常數(shù)項(xiàng)．

解答：解：（Ⅰ）C_n⁰+C_n¹+C_n²=56?1+n+

n(n-1)

2

=56?n2+n-110=0?n=10，n=-11（舍去）．
故n=10
（Ⅱ）(x2+

1

2 x

)10展開式的第r+1項(xiàng)是

C

r 10

(x2)10-r(

1

2 x

)r=

C

r 10

(

1

2

)rx20-

5r

2

令20-

5r

2

=0?r=8，
故展開式中的常數(shù)項(xiàng)是

C

8 10

(

1

2

)8=

45

256

．

點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式和展開式的二項(xiàng)式系數(shù)．注意二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)系數(shù)的區(qū)別．