Question

已知（x²+1）ⁿ展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)之和等于（

16

5

x2+

1

x

）⁵展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)．求（x²+1）ⁿ展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)．

Answer 1

分析：由題意可得（x²+1）ⁿ展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為2ⁿ，（

16

5

x2+

1

x

）⁵展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為16，可得n值，進(jìn)而可得（x²+1）ⁿ=（x²+1）⁴，由二項(xiàng)式系數(shù)的特點(diǎn)易得答案．

解答：解：把x=1代入可得（x²+1）ⁿ展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為2ⁿ，
而（

16

5

x2+

1

x

）⁵展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)_k+1=

C

k 5

(

16

5

x2)5-k(

1

x

)k=

C

k 5

(

16

5

)5-kx10-

5k

2

，
令10-

5k

2

=0，可得k=4，故常數(shù)項(xiàng)為T(mén)₅=16，
由題意可得2ⁿ=16，故n=4，
故（x²+1）ⁿ=（x²+1）⁴，展開(kāi)式共5項(xiàng)，
故二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為第3項(xiàng)，為

C

3 4

(x2)2•12=4x⁴

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，涉及二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)，屬中檔題．