Question

已知(

3	x

+x2)2n的展開(kāi)式的系數(shù)和比（3x-1）ⁿ的展開(kāi)式的系數(shù)和大992，求（2x-

1

x

）²ⁿ的展開(kāi)式中：
（1）二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)(

3	x

+x2)2n的展開(kāi)式的系數(shù)和比（3x-1）ⁿ的展開(kāi)式的系數(shù)和大992，對(duì)x進(jìn)行賦值，令x=1，即可得到關(guān)于n的方程：2²ⁿ-2ⁿ=992，求出n，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)即可求出二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)
（2）利用兩邊夾定理，設(shè)出第r+1項(xiàng)為系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)，即可列出關(guān)于r的不等式

C10r210-r≥C10(r-1)210-r+1 C10r210-r≥C10(r+1)210-r-1

，即可求解

解答：解：由題意知：2²ⁿ-2ⁿ=992，解得n=5．
（1）(2x-

1

x

)10的展開(kāi)式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即
T6= C105×(2x)5(-

1

x

)5 =-8064
（2）設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值最大，因?yàn)?span id="ni3qhwz" class="MathJye">Tr+1=C10r×(2x)10-r(-

1

x

)r=（-1）^rC₁₀r2^10-rx^10-2r

則

C10r210-r≥C10(r-1)210-r+1 C10r210-r≥C10(r+1)210-r-1

，得

C10r≥2C10r-1 2C10r≥C10r+1

即

11-r≥2r 2(r+1)≥

10-r
解得

8

3

≤r≤

11

3

所以r=3，故系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)
即T4=C103(2x)7(-

1

x

)3=-15360x4

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)賦值法求出n，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)利用兩邊夾定理進(jìn)行求解，屬于基礎(chǔ)題．