Question

【題目】已知數(shù)列滿足，．求證：當(dāng)時，

（Ⅰ）；

（Ⅱ）當(dāng)時，有；

（Ⅲ）當(dāng)時，有．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）通過數(shù)學(xué)歸納法，即可證明；

（Ⅱ）先通過構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性，對遞推公式放縮，得到，再利用累乘法即可證明；

（Ⅲ）通過構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)證明在上恒成立，從而得，再根據(jù)放縮法可得，變形得到，由累乘法即可證出．

（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法進行證明．

①當(dāng)時，成立；

②假設(shè)當(dāng)時，有成立，則當(dāng)時，有，又，故，綜上，可知當(dāng)時，均有．

（Ⅱ）設(shè)，則恒成立，在上單調(diào)遞增，所以，即．

因為，即，

當(dāng)時，由累乘法可得，，

又，即，所以；

因為，即，

當(dāng)時，由累乘法可得，，

又，即，所以，

故當(dāng)時，有；

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知， ，即，且．

設(shè)，恒成立，

在上單調(diào)遞增，所以，所以，

因為，

即，且，

所以，即，

故有，變形為，

當(dāng)時，所以，

又，即，所以．