Question

如圖，在四棱錐中，，，為正三角形，且平面平面．

（1）證明：；
（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）證明見解析；（2） ．

試題分析：（1）取的中點(diǎn)，然后利用矩形及正三角形的性質(zhì)可證明，，從而可證明結(jié)果；（2）可考慮分別以，為軸，軸，軸建立空間直線坐標(biāo)系，通過求兩個(gè)平面的法向量的夾角來求二面角的余弦值．或考慮通過過點(diǎn)作，然后證明為所求二面角的一個(gè)平面角，再在中進(jìn)行計(jì)算．
（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，
∵為正三角形，∴．
又∵在四邊形中，
，∴,且，
∴四邊形ABCO為平行四邊形，∴ ，
∴，∴．
（2）(法一)：由（1）知，且平面平面∴平面，所以分別以，為軸，軸，軸建立如圖，

所示的直角坐標(biāo)系，并設(shè)，則，,
∴，，，，，
∴，,,         ．
設(shè)平面，平面的法向量分別為，
則∴
∴分別取平面，平面的一個(gè)法向量，
∴，
∴二面角的余弦值為．
(法一)：由（1）知，且平面平面，∴平面，
過點(diǎn)作，垂足為，連接，則，于是為所求二面角的一個(gè)平面角，
設(shè)，則，，，
∴∴二面角的余弦值為．