Question

已知A，B兩點分別在直線y=

x

2

與y=-

x

2

上，且|AB|=2

2

，又點P為AB的中點．
（1）求點P的軌跡方程．
（2）若不同三點D（-2，0），S，T均在P的軌跡上，且

DS

•

ST

=0，求T點橫坐標x_T的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出A，B的坐標，利用點P為AB的中點，確定坐標之間的關(guān)系，根據(jù)|AB|=2

2

，建立方程，化簡，即可求點P的軌跡方程．
（2）直線DS、ST分別代入橢圓方程，求出T點橫坐標，利用基本不等式，即可求T點橫坐標x_T的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)A（m，

m

2

），B（n，-

n

2

），則|AB|=

(m-n)2+ (m+n)2 2

=2

2

．
設(shè)P（x，y），則

m+n=2x m-n 2 =2y

，∴

(2 2 y)2+ 4x2 2

=2

2

，
化簡可得y2+

x2

4

=1；
（2）設(shè)S（x₁，y₁），直線DS為y=k（x+2），代入橢圓方程，整理可得（1+4k²）x²+16k²x+4k²-1=0，則xD+x1=

-16k2

1+4k2

∴x1=

2-8k2

1+4k2

，y1=

4k

1+4k2

，
則直線ST為y=-

1

k

（x-x₁）+y₁，化簡為y=-

x

k

+

2-4k2

4k(1+4k2)

，
代入橢圓方程可得(1+

4

k2

)x2+

32k2-16

k2(1+4k2)

x+

4(2-4k2)2

k2(1+4k2)2

-4=0，
∴x₁+x_T=

16-32k2

(4+k2)(1+4k2)

，
∴xT=

16-32k2

(4+k2)(1+4k2)

-

2-8k2

1+4k2

=2-

36k2

4k4+17k2+4

（因為三點不同，易知k≠0）=2-

36k2

4k4+17k2+4

=

36

4(k2+ 1 k2 )+17

≥2-

36

25

=

14

25

∴x_T的取值范圍為[

14

25

，+∞）．

點評：本題考查軌跡方程，考查代入法的運用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．