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        1. (本小題滿分16分)
          已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列.
          (1)若,且,成等比數(shù)列,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
          (2)在(1)的條件下,數(shù)列的前和為,設(shè),若對任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的最小值;
          (3)若數(shù)列中有兩項(xiàng)可以表示為某個(gè)整數(shù)的不同次冪,求證:數(shù)列 中存在無窮多項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列.
          (1)的通項(xiàng)公式.(2)實(shí)數(shù)的最小值為
          (3)有等比數(shù)列,其中.   
          本試題主要是考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列求和的綜合運(yùn)用。
          (1)因?yàn)橐驗(yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223142693796.png" style="vertical-align:middle;" /> 又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223141804466.png" style="vertical-align:middle;" />是正項(xiàng)等差數(shù)列,故,利用等差數(shù)列的某兩項(xiàng)可知其通項(xiàng)公式的求解。
          (2)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223142818592.png" style="vertical-align:middle;" />,可知其的通項(xiàng)公式,利用裂項(xiàng)求和的思想得到結(jié)論。
          (3)因?yàn)檫@個(gè)數(shù)列的所有項(xiàng)都是正數(shù),并且不相等,所以,
          設(shè)其中 是數(shù)列的項(xiàng),是大于1的整數(shù),
          分析證明。
          (1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223142693796.png" style="vertical-align:middle;" /> 又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223141804466.png" style="vertical-align:middle;" />是正項(xiàng)等差數(shù)列,故
          所以,得(舍去) ,
          所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.………………………………………………4分
          (2) 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223142818592.png" style="vertical-align:middle;" />,
          ,

             ,
          ,則, 當(dāng)時(shí),恒成立,
          所以上是增函數(shù),故當(dāng)時(shí),,即當(dāng)時(shí),, 要使對任意的正整數(shù), 不等式恒成立,
          則須使, 所以實(shí)數(shù)的最小值為.…………………………10分
          (3)因?yàn)檫@個(gè)數(shù)列的所有項(xiàng)都是正數(shù),并且不相等,所以
          設(shè)其中 是數(shù)列的項(xiàng),是大于1的整數(shù),,
          ,則,
          的整數(shù)倍,對次冪,
          所以,右邊是的整數(shù)倍.
          所有這種形式是數(shù)列中某一項(xiàng),
          因此有等比數(shù)列,其中.   …………………………16分
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          等差數(shù)列中,=_______________.

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