Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是直角梯形，，，，，且，，．

（1）證明：平面；

（2）求點(diǎn)到平面的距離；

（3）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）首先取的三等分點(diǎn)，連結(jié)，，根據(jù)題意得到，，即四邊形是平行四邊形，所以.再根據(jù)線面平行的判定即可證明平面.

（2）首先證明平面，再分別以，，為軸軸軸，建立空間坐標(biāo)系，求出，平面法向量，代入點(diǎn)到面的距離公式即可.

（3）分別求出平面和平面的法向量，代入二面角公式即可.

（1）

取的三等分點(diǎn)，連結(jié)，，則．

又因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)?/span>，所以，四邊形是平行四邊形.

所以，

又平面平面，平面PAD，

所以平面.

（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為．

因?yàn)?/span>，，所以，

所以，因?yàn)?/span>，，

所以平面.

分別以，，為軸軸軸，建立空間坐標(biāo)系，

，，，，，.

，，.

設(shè)平面法向量，

因?yàn)?/span>，所以，

點(diǎn)到平面的距離，

點(diǎn)到平面的距離為．

（3），，

設(shè)平面的法向量為，則

，即，

，，

設(shè)平面的法向量為，

，即，

所以，二面角的余弦值為.