Question

求滿足下列條件的拋物線的標準方程，并求對應拋物線的準線方程．
(1)過點(－3，2)；
(2)焦點在直線x－2y－4＝0上．

Answer 1

（1）y²＝－x或x²＝y，前者的準線方程是x＝，后者的準線方程是y＝－.（2）所求拋物線的方程為y²＝16x或x²＝－8y，對應的準線方程分別是x＝－4，y＝2.

(1)設所求拋物線的方程為y²＝－2px或x²＝2py(p＞0)．
∵過點(－3，2)，∴4＝－2p(－3)或9＝2p·2.∴p＝或p＝.∴所求拋物線的方程為y²＝－x或x²＝y，前者的準線方程是x＝，后者的準線方程是y＝－.
(2)令x＝0得y＝－2，令y＝0得x＝4，∴拋物線的焦點為(4，0)或(0，－2)．當焦點為(4，0)時，＝4，∴p＝8，此時拋物線的方程為y²＝16x；焦點為(0，－2)時，＝2，∴p＝4，此時拋物線的方程為x²＝－8y.∴所求拋物線的方程為y²＝16x或x²＝－8y，對應的準線方程分別是x＝－4，y＝2.