Question

已知點(diǎn)點(diǎn)分別是軸和軸上的動(dòng)點(diǎn)，且，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為E.
（1）求曲線E的方程；
（2）點(diǎn)Q（1,a），M,N為曲線E上不同的三點(diǎn)，且，過(guò)M,N兩點(diǎn)分別作曲線E的切線，記兩切線的交點(diǎn)為，求的最小值.

Answer 1

(1);(2).

試題分析：(1)設(shè),利用,用表示的坐標(biāo)，然后利用,得到的方程，得到點(diǎn)軌跡;
（2）解法一：利用曲線方程,求出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，，,通過(guò)聯(lián)立方程，得到的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)，列出過(guò)點(diǎn)的切線方程，解出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再求的最小值，
解法二：利用導(dǎo)數(shù)，列出過(guò)點(diǎn)的切線方程，解出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后結(jié)合,能夠得到關(guān)于點(diǎn)所滿(mǎn)足的方程，再求出的最小值.
試題解析：（1）解：設(shè)
，由得     4分
（2）解法一：易知，設(shè)，，，
設(shè)的方程為
聯(lián)立方程消去，得，所以.
同理，設(shè)的方程為，.      6分
對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，
所以拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為，
所以切線的方程為，即.
同理，拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為.     8分
聯(lián)立兩條切線的方程
解得，，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.因此點(diǎn)在直線上. 10分
因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立．
由，得，驗(yàn)證知符合題意.
所以當(dāng)時(shí)，有最小值.      12分
解法二：由題意，，設(shè)，，，
對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，
所以拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為，
所以切線的方程為，即.
同理，拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為.
聯(lián)立兩條切線的方程
解得，，      8分
又
由得
所以點(diǎn)在直線上      10分
因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立．
有最小值.      12分