Question

已知平面向量

α

，

β

(

α

≠

β

，

β

≠0）滿足|

α

|=1，（1）當|

α

-

β

|=|

α

+

β

|=2時，求|

β

|的值；（2）當

β

與

α

-

β

的夾角為120°時，求|

β

|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由|

α

-

β

|=|

α

+

β

|=2即|

α

-

β

|2=|

α

+

β

|2=4，化簡得

α • β =0 α 2+2 α • β + β 2=4

可求
（2）可設

OA

=

α

，

OB

=

β

，則

BA

=

α

-

β

，由題可得在△ABO中，∠OBA=60°，由正弦定理，

| β |

sinA

=

| α |

sinB

，
可得|

β

|=

2 3

3

sinA，由0°＜A＜120° 可求

解答：解：（1）|

α

-

β

|=|

α

+

β

|=2即|

α

-

β

|2=|

α

+

β

|2=4，化簡得

α • β =0 α 2+2 α • β + β 2=4

∵|

α

|=1，∴|

β

|=

3

，即|

β

|的值為

3

（2）如圖，設

OA

=

α

，

OB

=

β

，∴

BA

=

α

-

β

，
由題，

β

與

α

-

β

的夾角為120°，因此，在△ABO中，∠OBA=60°，根據正弦定理，

| β |

sinA

=

| α |

sinB

，
∴|

β

|=

2 3

3

sinA，∵0°＜A＜120°∴0＜sinA≤1，
即|

β

|的取值范圍是(0，

2 3

3

]．

點評：本題主要考查了平面向量的數量積性質，三角形的正弦定理的應用，三角函數的性質的綜合應用，屬于基礎知識的綜合應用．