Question

（2009•長(zhǎng)寧區(qū)二模）如圖，曲線C：y=2^x（0≤x≤2）兩端分別為M、N，且NA⊥x軸于點(diǎn)A．把線段OA分成n等份，以每一段為邊作矩形，使與x軸平行的邊一個(gè)端點(diǎn)在曲線C上，另一端點(diǎn)在曲線C的下方，設(shè)這n個(gè)矩形的面積之和為S_n，則

lim

n→∞

[(2n-3)(

n	4

-1)Sn]=

12

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意可知從原點(diǎn)出發(fā)，矩形的高成等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2 

2

n

，進(jìn)而根據(jù)矩形面積公式，通過等比數(shù)列的求和公式求得S_n，最后利用數(shù)列極限得出答案．

解答：解：依題意可知從原點(diǎn)出發(fā)，矩形的高成等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為 2 

2

n

，則
S_n=

2

n

[1+2 

2

n

+2

4

n

+…+2

2n-2

n

]=

2

n

×

1-2 2n n

1-2 2 n

=

2

n

×

-3

1- n 4

．
∴

lim

n→∞

[(2n-3)(

n	4

-1)Sn]=

lim

n→∞

[(2n-3)(

n	4

-1)

2

n

×

-3

1- n 4

]=12
故答案為12．．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的求和、考查定積分在求面積中的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．