Question

設(shè)函數(shù)f（x）=blnx-（x-1）²，其中b為常數(shù)．
（Ⅰ）若b=4，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（II）若函數(shù)f（x）有極值點(diǎn)，求b的取值范圍及f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅲ） 證明：對(duì)任意不小于3的正整數(shù)n，不等式ln(n+1)-lnn＞

1

n2

都成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x），b=4時(shí)，解不等式f′（x）＜0，即可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間
（II）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），函數(shù)f（x）有極值點(diǎn)即方程f′（x）=0有正根，從而求得b的范圍，但要求極值點(diǎn)，必須討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，分兩種情況分別討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得相應(yīng)的極值點(diǎn)
（Ⅲ）所證不等式即ln

n+1

n

-（

n+1

n

-1）²＞0，結(jié)合（II），只需證明b=1，且n≥3時(shí)，f（

n+1

n

）＞0，因?yàn)閒（1）=0，故只需利用函數(shù)f（x）=lnx-（x-1）²在（1，

3

2

）上為增函數(shù)即可得證

解答：解：∵f′（x）=

b

x

-2（x-1）=

-2x2+2x+b

x

（Ⅰ）∵b=4∴f′（x）=

-2x2+2x+4

x

=

-2(x+1)(x-2)

x

 （x＞0）
由f′（x）＜0，得x＞2
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（2，+∞）
（II）∵函數(shù)f（x）有極值點(diǎn)，∴f′（x）=0有正根，
即2x²-2x-b=0有正根
∵y=2x²-2x-b的對(duì)稱(chēng)軸為

1

2

＞0，
∴只需△=4+8b＞0，∴b＞-

1

2

①若-

1

2

＜b＜0，∵2x²-2x-b=0的兩根之積為-

b

2

＞0，∴此方程有兩個(gè)正根

1- 2+2b

2

，

1+ 2+2b

2

函數(shù)f（x）在（0，

1- 2+2b

2

）上為減函數(shù)，在（

1- 2+2b

2

，

1+ 2+2b

2

）上為增函數(shù)，在（

1+ 2+2b

2

，+∞）上為減函數(shù)
∴函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)為x=

1- 2+2b

2

，極大值點(diǎn)為x=

1+ 2+2b

2

②若b≥0，∵2x²-2x-b=0的兩根之積為-

b

2

≤0，∴此方程有一個(gè)正根

1+ 2+2b

2

函數(shù)f（x）在（0，

1+ 2+2b

2

）上為增函數(shù)，在（

1+ 2+2b

2

，+∞）上為減函數(shù)
∴函數(shù)f（x）無(wú)極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)為x=

1+ 2+2b

2

綜上所述，-

1

2

＜b＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)為x=

1- 2+2b

2

，極大值點(diǎn)為x=

1+ 2+2b

2

；
b≥0時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)為x=

1+ 2+2b

2

（Ⅲ）令b=1，由（II）知，函數(shù)f（x）=lnx-（x-1）²在（0，

3

2

）上為增函數(shù)，在（

3

2

，+∞）上為減函數(shù)，且f（1）=0
令t=

n+1

n

（n≥3），則1＜t＜

3

2

∵函數(shù)f（x）=lnx-（x-1）²在（1，

3

2

）上為增函數(shù)，
∴f（t）＞f（1）=0
即f（

n+1

n

）＞0
即ln

n+1

n

-（

n+1

n

-1）²＞0
∴對(duì)任意不小于3的正整數(shù)n，不等式ln(n+1)-lnn＞

1

n2

都成立

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)的方法，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法．