Question

已知函數(shù)f（x）=3x²+1，g（x）=2x，數(shù)列{a_n}滿足對(duì)于一切n∈N^*有a_n＞0，且f(an+1)-f(an)=g(an+1+

3

2

)．?dāng)?shù)列{b_n}滿足bn=logana，設(shè)k，l∈N*，bk=

1

1+3l

，bl=

1

1+3k

．
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，并指出公比；
（2）若k+l=9，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f(an+1)-f(an)=g(an+1+

3

2

)，代入到函數(shù)f（x）=3x²+1，g（x）=2x，化簡(jiǎn)可得a_n+1=3a_n，從而可得數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，公比為3；
（2）先證明數(shù)列{b_n}的倒數(shù)構(gòu)成意等差數(shù)列，再利用條件k，l∈N*，bk=

1

1+3l

，bl=

1

1+3k

，結(jié)合k+l=9求數(shù)列的首項(xiàng)與公差，從而可表示數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：（1）由題意，∵f(an+1)-f(an)=g(an+1+

3

2

)
∴3(an+1)2+1-3

a

2 n

-1=2(an+1+

3

2

)，∴a_n+1=3a_n
∴數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，公比為3；
（2）∵bn=logana，∴

1

bn

=logaan，∴

1

bn+1

-

1

bn

=loga3
k，l∈N*，bk=

1

1+3l

，bl=

1

1+3k

∴

1

bk

=1+3l，

1

bl

=1+3k，
∴

1

bk

-

1

bl

=3(l-k)=(k-l)loga3
∴

1

bn+1

-

1

bn

=loga3=-3
∴

1

bn

=

1

bk

+(n-k)×(-3)=-3n+28，
∴bn=

1

-3n+28

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是數(shù)列遞推關(guān)系式，主要考查數(shù)列與函數(shù)的結(jié)合，考查等比數(shù)列的定義，等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式的運(yùn)用，關(guān)鍵是構(gòu)建等差數(shù)列，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力，有一定的難度．