Question

在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
（Ⅰ）求角A的大小
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）=cos2x-4cosAsinx（x∈R）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù),余弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）△ABC中，由條件利用正弦定理求得 b²+c²-a²=-bc．再由余弦定理求得cosA=

b2+c2-a2

2bc

的值，可得A的值．
（Ⅱ）利用二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為f（x）=-2(sinx-

1

2

)2+

3

2

，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)f（x）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）△ABC中，∵2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，
利用正弦定理可得 2a²=2b²+bc+2c²+bc，即 b²+c²-a²=-bc．
再由余弦定理可得 cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

，∴A=

2π

3

．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=cos2x-4cosAsinx=cos2x+2sinx=1-2sin²x+2sinx=-2(sinx-

1

2

)2+

3

2

，
故當(dāng)sinx=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為

3

2

，當(dāng)sinx=

1

2

=-1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為-3，
故函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-3，

3

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理、余弦定理、正弦函數(shù)的值域、二倍角公式、二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．