Question

某市環(huán)保研究所對(duì)市中心每天環(huán)境污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合污染指數(shù)f（x）與時(shí)間x（小時(shí)）的關(guān)系為f(x)=|

x

x2+1

+

1

3

-a|+2a，x∈[{0，24}]，其中a與氣象有關(guān)的參數(shù)，且a∈[0，

3

4

]，若用每天f（x）的最大值為當(dāng)天的綜合污染指數(shù)，并記作M（a）．
（1）令t=

x

x2+1

，x∈[0，24]，求t的取值范圍；
（2）求函數(shù)M（a）；
（3）市政府規(guī)定，每天的綜合污染指數(shù)不得超過(guò)2，試問(wèn)目前市中心的綜合污染指數(shù)是多少？是否超標(biāo)？

Answer 1

分析：（1）先對(duì)所給函數(shù)式的分子分母同除以x，再利用基本不等式求t的取值范圍即可；
（2）令g(x)=|t+

1

3

-a|+2a，t∈[0，

1

2

]．下面分類(lèi)討論：當(dāng)a-

1

3

＜

1

4

，當(dāng)a-

1

3

≥

1

4

，分別求出函數(shù)g（x）的最大值即得；
（3）利用（2）得出的函數(shù)分析知，當(dāng)a∈[0，

7

12

)時(shí)，M（a）是增函數(shù)；當(dāng)a∈[

7

12

，

3

4

]時(shí)，M（a）是增函數(shù)，從而求得它的最大值即可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）∵t=

x

x2+1

，x∈[0，24]，x=0時(shí)，t=0.0＜x≤24時(shí)，
t=

1

x+ 1 x

，x+

1

x

≥2，∴0＜t≤

1

2

．∴t∈[0，

1

2

]．（4分）
（2）令g(x)=|t+

1

3

-a|+2a，t∈[0，

1

2

]．
當(dāng)a-

1

3

＜

1

4

，即0≤a＜

7

12

時(shí)，[g(x)]max=g(

1

2

)=|

5

6

-a|+2a=a+

5

6

；
當(dāng)a-

1

3

≥

1

4

，即

7

12

≤a≤

3

4

時(shí)，[g(x)]max=g(0)=|

1

3

-a|+2a=3a-

1

3

．
所以M(a)=

a+ 5 6 ，0≤a＜ 7 12 3a- 1 3 ， 7 12 ≤a≤ 3 4

（10分）
（3）當(dāng)a∈[0，

7

12

)時(shí)，M（a）是增函數(shù)，M(a)＜M(

7

12

)=

17

12

＜2；
當(dāng)a∈[

7

12

，

3

4

]時(shí)，M（a）是增函數(shù)，M(a)≤M(

3

4

)=

23

12

＜2．
綜上所述，市中心污染指數(shù)是

23

12

，沒(méi)有超標(biāo)．（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及分類(lèi)討論的思想，屬于實(shí)際應(yīng)用題．