Question

（2013•韶關(guān)三模）已知數(shù)列{a_n}中，a1=1，an+1an-1=anan-1+an2(n∈N+，n≥2)，且

an+1

an

=kn+1，
（Ⅰ）求證：k=1；
（Ⅱ）設(shè)g(x)=

anxn-1

(n-1)!

，f（x）是數(shù)列{g（x）}的前n項和，求f（x）的解析式；
（Ⅲ）求證：不等式f(2)＜

3

n

g(3)對n∈N₊恒成立．

Answer 1

分析：（I）利用an+1an-1=anan-1+

a

2 n

中n=2，及a₁=1，得到a₃a₁=a₂a₁+a22，即

a3

a2

=a2+1；再利用

an+1

an

=kn+1，得到

a3

a2

=2k+1，

a2

a1

=k+1即可證明．
（II）利用“累成求積”即可得到g（x），再利用“錯位相減法”及等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出f（x）；
（III）利用（2）中f（x）的表達式，取x=2，則f(2)=

1-2n

(1-2)2

-

n•2n

1-2

=（n-1）•2ⁿ+1，又

3

n

g(3)=3n，利用數(shù)學(xué)歸納法證明：不等式f(2)＜

3

n

g(3)對n∈N₊恒成立．

解答：（I）證明：∵

an+1

an

=kn+1，
∴

a2

a1

=a2=k+1，
又∵a1=1，an+1an-1=anan-1+an2(n∈N+，n≥2)
則a₃a₁=a₂a₁+a22，即

a3

a2

=a2+1，又

a3

a2

=2k+1，∴a₂=2k．
∴k+1=2k，解得k=1．
（2）∵

an+1

an

=n+1，∴an=

an

an-1

•

an-1

an-2

…

a2

a1

•a1=n•（n-1）…2•1=n!
∵g(x)=

anxn-1

(n-1)!

=nx^n-1
∴當x=1時，f(x)=f(1)=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
當x≠1時，f（x）=1+2x+3x²+…+nx^n-1．
得xf（x）=x+2x²+3x³+…+（n-1）x^n-1+nxⁿ
兩式相減得（1-x）f（x）=1+x+x²+…+x^n-1-nxⁿ=

1-xn

1-x

-nxn
∴f（x）=

1-xn

(1-x)2

-

nxn

1-x

綜上所述：f(x)=

n(n+1) 2 ，x=1 1-xn (1-x)2 - nxn 1-x ，x≠1

．
（3）利用（2）中f（x）的表達式，取x=2，
則f(2)=

1-2n

(1-2)2

-

n•2n

1-2

=（n-1）•2ⁿ+1，
又

3

n

g(3)=3n，下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：不等式f(2)＜

3

n

g(3)對n∈N₊恒成立．
易驗證當n=1，2，3時不等式恒成立； 
假設(shè)n=k（k≥3），不等式成立，即3^k＞（k-1）2^k+1
兩邊乘以3得：3^k+1＞3（k-1）2^k+3=k•2^k+1+1+3（k-1）2^k-k2^k+1+2
又因為3（k-1）2^k-k•2^k+1+2=2^k（3k-3-2k）+2=（k-3）2^k+2＞0
所以3^k+1＞k•2^k+1+1+3（k-1）2^k-k2^k+1+2＞k•2^k+1+1
即n=k+1時不等式成立．
故不等式恒成立．

點評：本題綜合考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式、“累成求積”、“錯位相減法”，及其數(shù)學(xué)歸納法，需要較強的推理能力和計算能力．