Question

（2004•黃埔區(qū)一模）直線y=

3

3

x繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后，所得直線與圓（x-2）²+y²=3的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是

1

．

Answer 1

分析：由已知直線的斜率，根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系求出傾斜角，進(jìn)而求出直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后的傾斜角，得到此時(shí)直線的方程，由圓的方程找出圓心坐標(biāo)和半徑r，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離d，比較得到d=r，即此時(shí)直線與圓相切，故此時(shí)直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．

解答：解：∵直線y=

3

3

x的斜率為

3

3

，
∴此直線的傾斜角為30°，
∴此直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后傾斜角為60°，
∴此直線旋轉(zhuǎn)后的方程為y=

3

x，
由圓（x-2）²+y²=3，得到圓心坐標(biāo)為（2，0），半徑r=

3

，
∵圓心到直線y=

3

x的距離d=

2 3

2

=

3

=r，
∴該直線與圓相切，
則直線與圓（x-2）²+y²=3的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是1．
故答案為：1

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：直線斜率與傾斜角的關(guān)系，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，其中直線與圓的位置關(guān)系可以由d與r的大小來判定，當(dāng)d＞r時(shí)，直線與圓相離；當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)d＜r時(shí)，直線與圓相交．