Question

【題目】已知直線l：y=2x+m與圓O：x2+y2=1相交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，且A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）．
（1）當(dāng)△AOB面積最大時(shí)，求m的取值，并求出|AB|的長(zhǎng)度．
（2）判斷sin（α+β）是否為定值；若是，求出定值的大小；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵

∴當(dāng)△AOB面積最大時(shí)，OA⊥OB

得O到AB的距離為 ；由d= = ，得m=±

此時(shí)|AB|=2 =

（2）解：聯(lián)立直線y=2x+m和圓O：x2+y2=1消元得：5x2+4mx+m2﹣1=0，5y2﹣2my+m2﹣4=0，

于是x1x2=cosαcosβ= ，y1y2=sinαsinβ= ．

所以cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ= ﹣ = ，

由題意可知π＜α+β＜2π．

從而sin（α+β）=﹣

【解析】（1）當(dāng)△AOB面積最大時(shí)，OA⊥OB，即可求m的取值，并求出|AB|的長(zhǎng)度．（2）把直線方程和圓的方程聯(lián)立后，分別消去x和y得到關(guān)于y和x的方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到α，β的余弦和正弦的積，然后利用和角的三角函數(shù)求值．