Question

【題目】已知中心在坐標原點，焦點在x軸上的橢圓，離心率為 且過點（ ，0），過定點C（﹣1，0）的動直線與該橢圓相交于A、B兩點．
（1）若線段AB中點的橫坐標是﹣ ，求直線AB的方程；
（2）在x軸上是否存在點M，使 為常數(shù)？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可設(shè)橢圓的標準方程為： =1（a＞b＞0），

∴ ，a= ，a2=b2+c2，

解得a= ，c= ，b2= ．

∴橢圓的方程為x2+3y2=5，

直線斜率不存在時顯然不成立，設(shè)直線AB：y=k（x+1），

將AB：y=k（x+1）代入橢圓的方程，消去y整理得（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣5=0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則 ，

∵線段AB的中點的橫坐標為 ，解得 ，

∴直線AB的方程為

（2）

解：假設(shè)在x軸上存在點M（m，0），使得MAMB為常數(shù)，

①當直線AB與x軸不垂直時，由（1）知 ，

∴ =（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=（k2+1）x1x2+（k2﹣m）（x1+x2）+k2+m2= ，

∵ 是與k無關(guān)的常數(shù)，從而有 ，

此時 = ．

②當直線AB與x軸垂直時，此時結(jié)論成立，

綜上可知，在x軸上存在定點 ，使 ，為常數(shù)

【解析】（1）由題意可設(shè)橢圓的標準方程為： =1（a＞b＞0），可得 ，a= ，a2=b2+c2 ， 解出可得橢圓的方程．直線斜率不存在時顯然不成立，設(shè)直線AB：y=k（x+1），將AB：=k（x+1）代入橢圓的方程，消去y整理得（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣5=0，由線段AB的中點的橫坐標為 ，解得k，即可得出．（2）假設(shè)在x軸上存在點M（m，0），使得MAMB為常數(shù)，
①當直線AB與x軸不垂直時，利用根與系數(shù)的關(guān)系與數(shù)量積運算性質(zhì)可得 =（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2 ， 即可得出．