Question

（2013•和平區(qū)一模）如圖，PC⊥平面ABC，DA∥PC，∠ACB=90°，E為PB的中點，AC=AD=BC=1，PC=2．
（I）求證：DE∥平面ABC：
（II）求證：PD⊥平面BCD；
（III）設Q為PB上一點，

PQ

=λ

PB

，試確定λ的值使得二面角Q-CD-B為45°．

Answer 1

分析：（I）建立如圖所示的空間直角坐標系，可知

PC

=(0，0，2)為平面ABC的一個法向量，利用

DE

•

PC

=0?

DE

⊥

PC

，DE?平面ABC，?DE∥平面ABC即可證明．
（II）利用

PD

•

BC

=0?PD⊥BC，

PD

•

CD

=0?PD⊥CD．及BC∩DC=C，即可證明PD⊥平面BCD．
（III）由（II）可知：

PD

=（1，0，-1）為平面BCD的法向量，由

PB

=(0，1，-2)，

PQ

=λ

PB

=(0，λ，-2λ)，λ∈（0，1），可得Q（0，λ，-2λ+2）．再求出平面QCD的一個法向量，利用兩個法向量的夾角即可得出二面角的余弦值．

解答：（I）證明：建立如圖所示的空間直角坐標系，則B（0，1，0），D（1，0，1），P（0，0，2），E(0，

1

2

，1)，

DE

=(-1，

1

2

，0)．
可知

PC

=(0，0，2)為平面ABC的一個法向量，
∵

DE

•

PC

=0，∴

DE

⊥

PC

．
∵DE?平面ABC，∴DE∥平面ABC．
（II）證明：∵

PD

=(1，0，-1)，

BC

=（0，1，0），

CD

=（1，0，1）．
∴

PD

•

BC

=0，

PD

•

CD

=0．
∴PD⊥BC，PD⊥CD．∵BC∩DC=C，
∴PD⊥平面BCD．
（III）解：由（II）可知：

PD

=（1，0，-1）為平面BCD的法向量，
∵

PB

=(0，1，-2)，

PQ

=λ

PB

=(0，λ，-2λ)，λ∈（0，1）．
∴Q（0，λ，-2λ+2）．
設平面QCD的法向量為

n

=(x，y，z)，由

n • CD =0 n • CQ =0

，得

x+z=0 λy+(-2λ+2)z=0

，
令z=1，則x=-1，y=

2

λ

-2，∴

n

=(-1，

2

λ

-2，1)，λ∈（0，1）．
∴cos45°=

| n • PD |

| n | | PD |

=

2

2 × 2+( 2 λ -2)2

=

2

2

，
解得λ=2-

2

．

點評：本題綜合考查了通過建立空間直角坐標系利用向量證明線面平行與垂直、利用平面的法向量求二面角的余弦值等基礎知識與基本技能，考查了空間想象能力、推理能力和計算能力．