Question

（2013•和平區(qū)一模）若拋物線y²=ax上恒有關(guān)于直線x+y-1=0對(duì)稱的兩點(diǎn)A，B，則a的取值范圍是（　　）

• A．（-

  4

  3

  ，0）
• B．（0，

  3

  4

  ）
• C．（0，

  4

  3

  ）
• D．（-∞，0）∪（

  4

  3

  ，+∞）

Answer 1

分析：設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)锳，B在拋物線上，把兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程，作差后求出AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，又AB的中點(diǎn)在直線x+y-1=0上，代入后求其橫坐標(biāo)，然后由AB中點(diǎn)在拋物線內(nèi)部列不等式求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因?yàn)辄c(diǎn)A和B在拋物線上，所以有y12=ax1①
y22=ax2②
①-②得，y12-y22=a(x1-x2)．
整理得

y1-y2

x1-x2

=

a

y1+y2

，
因?yàn)锳，B關(guān)于直線x+y-1=0對(duì)稱，所以k_AB=1，即

a

y1+y2

=1．
所以y₁+y₂=a．
設(shè)AB的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），則y0=

y1+y2

2

=

a

2

．
又M在直線x+y-1=0上，所以x0=1-y0=1-

a

2

．
則M（1-

a

2

，

a

2

）．
因?yàn)镸在拋物線內(nèi)部，所以y02-ax0＜0．
即

a2

4

-a(1-

a

2

)＜0，解得0＜a＜

4

3

．
所以a的取值范圍是（0，

4

3

）．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查了點(diǎn)差法，是解決與弦中點(diǎn)有關(guān)問題的常用方法，解答的關(guān)鍵是由AB中點(diǎn)在拋物線內(nèi)部得到關(guān)于a的不等式，是中檔題．