Question

【題目】記 表示正整數(shù) 在十進(jìn)制下的各位數(shù)碼之和.定義，證明：對(duì)任意的 ，存在無(wú)窮多個(gè)，，使得 .

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

先證明兩個(gè)引理．

引理1 設(shè)，有 .

引理1的證明 對(duì)任意，有.

設(shè)，.

反復(fù)利用式①得

.

引理2 對(duì)任意，存在， ，滿足，，.

引理2的證明 取 ，則，.

由三進(jìn)制表示的唯一性，知當(dāng)（可重集合）時(shí)， .

于是，的每一位上的數(shù)碼最大為2.故，.

類(lèi)似于前面的討論，中的每一位上的數(shù)字最大為6.從而，.

引理1、2得證．

下面用反證法證明原題.

假設(shè)只有有限個(gè)正整數(shù) 滿足條件.則存在一個(gè)，使得當(dāng) 時(shí)， .

設(shè).則，，.

依次下去，知對(duì)任意，均有.

再取一個(gè)充分大的，使得 ，且 .

由引理2 ，知存在，滿足，，.

故由引理1知.

但，矛盾.

從而，對(duì)任意，存在無(wú)窮多個(gè)， ，使得.