Question

【題目】在四棱錐 中， 平面 ， ，底面 是梯形， ， ， ．

（1）求證：平面 平面 ；
（2）設(shè) 為棱 上一點(diǎn)， ，試確定 的值使得二面角 為 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ 平面 ， 平面 ， 平面 ，
∴ ， ，在梯形 中，過點(diǎn)作 作 于 ，
在 中， ，又在 中， ，
∴ ， ∵ ， ， ，
平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，∵ 平面 ，
∴ ，∵ ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 平面 ；

（2）解：

過點(diǎn) 作 交 于點(diǎn) ，過點(diǎn) 作 于點(diǎn) ，連 ，由（1）可知 平面 ，∴ 平面 ，∴ ，
∵ ，∴ 平面 ，∴ ，∴ 是二面角 的平面角，
∴ ，∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，由（1）知 ，∴ ，又∵ ，∵ ，∴ ，
∴ ，∵ ，∴ ；法二：以 為原點(diǎn)， ， ， 所在直線為 ， ， 軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)

則 ， ， ， ，令 ，則
， ，∵ ，∴ ，
∴ ，∵ 平面 ，∴ 是平面 的一個法向量，
設(shè)平面 的法向量為 ，則 ，即 即 ，
不妨令 ，得 ，∵二面角 為 ，
∴ ，解得 ， ∵ 在棱 上，∴ ，故 為所求．
【解析】（1）在梯形ABCD中，過點(diǎn)作B作BH⊥CD于H，通過面面垂直的判定定理即得結(jié)論；
（2）過點(diǎn)Q作QM∥BC交PB于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥BD于點(diǎn)N，連QN．則∠QNM是二面角Q-BD-P的平面角，在Rt三角形MNQ中利用tan∠MNQ=計算即可．