Question

求證：雙曲線=1(a＞0，b＞0)上任何一點(diǎn)到兩條漸近線的距離之積為定值.

Answer 1

思路分析：本題考查雙曲線幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用.將雙曲線有關(guān)的性質(zhì)綜合起來(lái)在解題中綜合考查，對(duì)于這類問(wèn)題，我們要有良好的基本功才能對(duì)付好.

證明：設(shè)P(x₀，y₀)是雙曲線上任意一點(diǎn)，由雙曲線的兩條漸近線方程為bx+ay=0和bx-ay=0可得：P到bx+ay=0的距離d₁=;

P到bx-ay=0的距離d₂=.

∴d₁·d₂=·=.

又P在雙曲線上，∴=1

,即b²x₀²-a²y₀²=a²b².∴d₁·d₂=，即點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為定值.

    方法歸納 所謂定值，是與P點(diǎn)在曲線上的位置無(wú)關(guān)，為了達(dá)到目標(biāo)明確，可先通過(guò)特殊的情況求出一個(gè)常數(shù)，猜想其定值.