Question

求證:雙曲線-=1(a>0,b>0)上任何一點(diǎn)到兩條漸近線的距離之積為定值.

Answer 1

證法一:設(shè)P(x₀,y₀)是雙曲線上任意一點(diǎn),

由雙曲線的兩條漸近線方程為bx+ay=0和bx-ay=0,

可得P到bx+ay=0的距離d₁=;

P到bx-ay=0的距離d₂=.

∴d₁d₂=·=.

又P在雙曲線上,∴+=1,即b²x₀²-a²y₀²=a²b².?

∴d₁·d₂=,即P到兩條漸近線的距離之積為定值.

證法二:設(shè)雙曲線上任一點(diǎn)P(asecθ,btanθ),?

∵雙曲線的兩條漸近線方程為bx+ay=0和bx-ay=0,

∴點(diǎn)P到直線bx+ay=0的距離

d₁= =,

點(diǎn)P到直線bx-ay=0的距離?

d₂= =.

∴d₁·d₂=·

==.

∴雙曲線上任一點(diǎn)到兩條漸近線的距離之積為?定值?.?

溫馨提示:(1)所謂定值,是與P點(diǎn)在曲線上的位置無關(guān),為了達(dá)到目標(biāo)明確,可先通過特殊的情況,求出一個(gè)常數(shù),猜想其定值.?

(2)雙曲線-=1(a>0,b>0)的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),不作過高要求.在解題中靈活應(yīng)用即可,類似于換元法解題,將可達(dá)到一元化的目的.