Question

求證:雙曲線=1(a＞0,b＞0)上任何一點(diǎn)到兩條漸近線的距離之積為定值.

Answer 1

思路分析：可以在雙曲線上任意找一點(diǎn)，把這點(diǎn)到兩條漸近線的距離表示出來(lái)，化簡(jiǎn)即可看出.

證明:設(shè)雙曲線上任一點(diǎn)P(asecθ,btanθ),

∵雙曲線的兩條漸近線方程為bx+ay=0和bx-ay=0,

∴點(diǎn)P到直線bx+ay=0的距離d₁=;

點(diǎn)P到直線bx-ay=0的距離d₂=.

∴d₁·d₂=.

∴雙曲線上任一點(diǎn)到兩條漸近線的距離之積為定值.

方法歸納 (1)所謂定值,是與P點(diǎn)在曲線上的位置無(wú)關(guān)的,為了達(dá)到目標(biāo)明確,可先通過(guò)特殊的情況,求出一個(gè)常數(shù),猜想其定值.

(2)雙曲線=1(a＞0,b＞0)的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),不作過(guò)高要求,在解題中靈活應(yīng)用,類似于換元法解題,將可達(dá)到一元化的目的.