Question

已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)在上的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，曲線上總存在相異兩點(diǎn)，，，使得曲線在、處的切線互相平行，求證：．

Answer 1

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性，我們可先求其導(dǎo)數(shù)，則不等式的解集區(qū)間就是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，不等式的解集區(qū)間就是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（2）題設(shè)問(wèn)題實(shí)際上就是已知
時(shí)，由（1）知化簡(jiǎn)變形得，要證明的是，利用基本不等式，這樣有，故小于的最小值，而在上是增函數(shù)（可用導(dǎo)數(shù)或用增函數(shù)的定義證明），于是有，從而，解得．

解析試題分析：
（1）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/6a/1/1lc0w2.png" style="vertical-align:middle;" />．
，
令，解得或．
∵，∴， ∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．    6分
（2）由題意得，當(dāng)時(shí)，且)
即     ∴．
 整理得
令 所以在上單調(diào)遞減，所以在上的最大值為        12分
考點(diǎn)：（1）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性；（2）導(dǎo)數(shù)與切線斜率，基本不等式與函數(shù)的最值．