Question

如圖,空間四邊形ABCD中,四邊AB、BC、CD、DA和對角線AC、BD都等于a,E、F分別為AB、CD的中點.

(1)求證:EF是異面直線AB、CD的公垂線;

(2)求異面直線AB和CD的距離.

Answer 1

(1)證明:如圖,連結(jié)AF、BF,

由已知△BCD和△ACD均為正三角形,

E、F分別為AB、CD的中點,

∴AF=BF,EF⊥AB.

同理,EF⊥CD.

又EF與AB、CD都相交,

∴EF為異面直線AB、CD的公垂線.

(2)解:∵空間四邊形各邊及對角線AC、BD的長均為a,

∴AF=BF=.而AE=,

∴在Rt△AEF中,EF=.

∴異面直線AB和CD之間的距離為.