Question

如圖空間四邊形ABCD中，AC=4，BD=2，E，F(xiàn)分別是BC和AD的中點(diǎn)．
（1）若EF=

6

，求AC與BD所成角的余弦值．
（2）若AC=AB=AD，BD=BC=CD，求三棱錐A-BCD的側(cè)面積．

Answer 1

分析：（1）取CD中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，由題設(shè)知∠EGF是AC與BD所成角或所成角的補(bǔ)角，再由余弦定理能求出AC與BD所成角的余弦值．
（2）由AC=AB=AD=4，BD=BC=CD=2，知△ABC≌△ACD≌△ABD，故三棱錐A-BCD的側(cè)面積S=3S_△ABC，由此能求出結(jié)果．

解答：解：（1）取CD中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，
∵AC=4，BD=2，E，F(xiàn)分別是BC和AD的中點(diǎn)，
∴EG∥BD，且EG=

1

2

BD=1，
FG∥AC，且FG=

1

2

AC=2，
∴∠EGF是AC與BD所成角或所成角的補(bǔ)角，
設(shè)AC與BD所成角為θ，
∵EF=

6

，
∴由余弦定理，得cosθ=|cos∠EGF|=|

1+4-6

2×1×2

|=

1

4

．
故AC與BD所成角的余弦值為

1

4

．
（2）∵AC=AB=AD=4，BD=BC=CD=2，
∴△ABC≌△ACD≌△ABD，
∵AB=AC=4，BC=2，∴△ABC中BC邊上的高h(yuǎn)=

15

，
∴三棱錐A-BCD的側(cè)面積S=3S_△ABC=3×

1

2

×2×

15

=3

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查三棱錐的側(cè)面積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意余弦定理的合理運(yùn)用．