Question

已知f（x）=（2+aⁿx）ⁿ，n∈N^*，a∈R，且a≠0．
（Ⅰ）當(dāng)n=3時(shí)，f（x）的展開式的第三項(xiàng)的系數(shù)是第二項(xiàng)系數(shù)的4倍，求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)n=4時(shí)，若f(x)=b1+b2x+b3x2+b4x3+b5x4，且對任意的整數(shù)i，都有

b

i+1

＞bi（1≤i≤4）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)n=3，求得f（x）的展開式的第二項(xiàng)系數(shù)為

C

1 3

•22•a3，第三項(xiàng)系數(shù)為

C

2 3

•2•a6．由條件可得2a⁶=4•4•a³，由此求得a=2的值．
（Ⅱ）由題意得

b

i

=

C

i-1 4

•25-i•(a4)i-1，由

b

i+1

＞

b

i

利用組合數(shù)的計(jì)算公式可得a4＞

2i

5-i

對i=1，2…，4都成立．再由函數(shù)g(i)=

2i

5-i

在[1，4]上是遞增，可得a⁴＞8，由此求得a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n=3，f（x）=（2+a³x）³，所以f（x）的展開式的第二項(xiàng)系數(shù)為

C

1 3

•22•a3，第三項(xiàng)系數(shù)為

C

2 3

•2•a6．
由條件可得2a⁶=4•4•a³，又因?yàn)閍≠0，所以a=2．…（4分）
（Ⅱ）由題意得

b

i

=

C

i-1 4

•25-i•(a4)i-1，由

b

i+1

＞

b

i

得

4!

i!(4-i)!

•24-i•(a4)i＞

4!

(i-1)!•(5-i)!

•25-i•(a4)i-1，
即a4＞

2i

5-i

對i=1，2…，4都成立．…（6分）
又因?yàn)楹瘮?shù)g(i)=

2i

5-i

在[1，4]上是遞增，所以a⁴＞8，…（7分）
求得a＞2

3

4

，或a＜-2

3

4

．…（8分）

點(diǎn)評：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，組合數(shù)的計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于中檔題．