Question

已知f（x）=

2x-a

x2+2

（x∈R）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值組成的集合A；
（Ⅱ）設關于x的方程f（x）=

1

x

的兩個非零實根為x₁、x₂．試問：是否存在實數(shù)m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數(shù)單調(diào)遞增導數(shù)大于等于零列出不等式解之
（Ⅱ）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系寫出不等式先看成關于a的不等式恒成立再看成關于t的一次不等式恒成立，讓兩端點大等于零

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=

4+2ax-2x2

(x2+2)2

=

-2(x2-ax-2)

(x2+2)2

，
∵f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，
∴f'（x）≥0對x∈[-1，1]恒成立，
即x²-ax-2≤0對x∈[-1，1]恒成立．①
設φ（x）=x²-ax-2，
方法一：φ
①?

φ(1)=1-a-2≤0 φ(-1)=1+a-2≤0

?-1≤a≤1，
∵對x∈[-1，1]，f（x）是連續(xù)函數(shù)，且只有當a=1時，f'（-1）=0以及當a=-1時，f'（1）=0
∴A={a|-1≤a≤1}．方法二：
①?

a 2 ≥0 φ(-1)=1+a-2≤0

或

a 2 ＜0 φ(1)=1-a-2≤0

?0≤a≤1或-1≤a≤0
?-1≤a≤1．
∵對x∈[-1，1]，f（x）是連續(xù)函數(shù)，且只有當a=1時，f'（-1）=0以及當a=-1時，f'（1）=0
∴A={a|-1≤a≤1}．
（Ⅱ）由

2x-a

x2+2

=

1

x

，得x²-ax-2=0，∵△=a²+8＞0
∴x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的兩非零實根，x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，
從而|x₁-x₂|=

(  x1+x2)2- 4x1x2

=

a2+8

．
∵-1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=

a2+8

≤3．
要使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，
當且僅當m²+tm+1≥3對任意t∈[-1，1]恒成立，
即m²+tm-2≥0對任意t∈[-1，1]恒成立．②
設g（t）=m²+tm-2=mt+（m²-2），
方法一：
②?g（-1）=m²-m-2≥0，g（1）=m²+m-2≥0，
?m≥2或m≤-2．
所以，存在實數(shù)m，使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤-2}．
方法二：
當m=0時，②顯然不成立；
當m≠0時，
②?m＞0，g（-1）=m²-m-2≥0或m＜0，g（1）=m²+m-2≥0
?m≥2或m≤-2．
所以，存在實數(shù)m，使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤-2}．

點評：本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的應用和不等式等有關知識，考查數(shù)形結(jié)合及分類討論思想和靈活運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力．