Question

（2013•煙臺(tái)二模）已知f（x）=

1

4

x²+sin(

π

2

+x)，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則f′（x）的圖象是（　�。�

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：先化簡(jiǎn)f（x）=

1

4

x²+sin(

π

2

+x)=

1

4

x²+cosx，再求其導(dǎo)數(shù)，得出導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，排除B，D．再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)小于0的x的范圍，確定導(dǎo)函數(shù)（-

π

3

，

π

3

）上單調(diào)增減，從而排除C，即可得出正確答案．

解答：解：由f（x）=

1

4

x²+sin(

π

2

+x)=

1

4

x²+cosx，
∴f'（x）=

1

2

x-sinx，它是一個(gè)奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故排除B，D．
又f''（x）=

1

2

-cosx，當(dāng)-

π

3

＜x＜

π

3

時(shí)，cosx＞

1

2

，∴f''（x）＜0，
故函數(shù)y=f'（x）在區(qū)間（-

π

3

，

π

3

）上單調(diào)遞減；
故排除C．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．