Question

已知|

a

|=2|

b

|≠0，若關(guān)于x的函數(shù)f(x)=

1

3

x3+

1

2

|

a

|x2+

a

•

b

x在R上是單調(diào)函數(shù)，則向量

a

與

b

的夾角范圍為

[0，

π

3

]

．

Answer 1

分析：由題意開始：函數(shù)f′（x）=x²+|

a

|x+

a

•

b

的圖象與x軸沒有交點(diǎn)或者只有一個(gè)交點(diǎn)，可得△=

a

2-4

a

•

b

≤0，即

a

•

b

≥

1

4

•

a

2，再結(jié)合cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a || b|

與已知條件得cos＜

a

，

b

＞≥

1

2

，再結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)得到答案．

解答：解：因?yàn)殛P(guān)于x的函數(shù)f(x)=

1

3

x3+

1

2

|

a

|x2+

a

•

b

x在R上是單調(diào)函數(shù)，
所以函數(shù)f′（x）=x²+|

a

|x+

a

•

b

與x軸沒有交點(diǎn)或者只有一個(gè)交點(diǎn)，
所以△=

a

2-4

a

•

b

≤0，即

a

•

b

≥

1

4

•

a

2，
因?yàn)閏os＜

a

，

b

＞=

a • b

| a || b|

，并且|

a

|=2|

b

|≠0
所以cos＜

a

，

b

＞≥

1

2

，
所以θ∈[0，

π

3

]．
故答案為：[0，

π

3

]．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，以及向量的數(shù)量積運(yùn)算與余弦函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，此題綜合性較強(qiáng)屬于中檔題．