Question

（2012•靜安區(qū)一模）已知2+ai，b+i（其中a，b∈R）是實(shí)系數(shù)一元二次方程x²+px+q=0的兩個(gè)根．
（1）求a，b，p，q的值；
（2）計(jì)算：

a+bi

p+qi

．

Answer 1

分析：（1）由于實(shí)系數(shù)一元二次方程x²+px+q=0仍然滿足韋達(dá)定理（一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系），我們易根據(jù)2+ai，b+i是實(shí)系數(shù)一元二次方程x²+px+q=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩個(gè)根，構(gòu)造關(guān)于p，q的方程，解方程即可求出a，b，p，q的值．
（2）根據(jù)a，b，p，q的值，利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法則，能夠計(jì)算

a+bi

p+qi

的值．

解答：解：（1）∵2+ai，b+i（其中a，b∈R）是實(shí)系數(shù)一元二次方程x²+px+q=0的兩個(gè)根，
∴

2+ai+b+i=-p (2+ai)(b+i)=q

，
即

(2+b)+(a+1)i=-p (2b-a)+(ab+2)i=q

，
∴

a+1=0 ab+2=0

，
解得a=-1，b=2，
∴p=-4，q=5，
故b=2，a=-1，p=-4，q=5．（每一個(gè)值2分）…（8分）
（2）∵b=2，a=-1，p=-4，q=5，
∴

a+bi

p+qi

=

-1+2i

-4+5i

=

(-1+2i)(-4-5i)

16+25

=

14-3i

41

．…（6分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，復(fù)數(shù)的基本概念，其中根據(jù)實(shí)系數(shù)一元二次方程仍然滿足韋達(dá)定理（一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系），結(jié)合已知條件構(gòu)造關(guān)于p，q的方程，是解答本題的關(guān)鍵．